CONJUNTOS

CONJUNTOS

En matemáticas, un conjunto es una agrupación de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos del conjunto pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto.1 Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:

AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}

Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:

P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}

Subconjuntos

Sean los conjuntos A= { 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o que B es subconjunto de A. En general si A y B son dos conjuntos cualesquiera, decimos que B es un subconjunto de A si todo elemento de B lo es de A también.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe B Ì A. Si B no es subconjunto de A se indicará con una diagonal Ë.

Note que Î se utiliza solo para elementos de un conjunto y Ì solo para conjuntos.

Conjunto Universal

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibe el nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que se estudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestra).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros números naturales el conjunto queda:

U= {1, 2, 3, 4, 5}

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de números naturales (enteros mayores que cero) representados por la letra N donde N= {1, 2, 3,....}

Conjunto de números enteros positivos y negativos representados por la letra Z donde

Z= {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}

Conjunto de números racionales (números que se representan como el cociente de dos números enteros {fracciones}). Estos números se representan por una Q

Conjunto de números irracionales (números que no puedan representarse como el cociente de dos números enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los números reales que son los números racionales e irracionales es decir todos, representados por R.

Todos estos conjuntos tienen un número infinito de elementos, la forma de simbolizarlos por extensión o por enumeración es de gran utilidad cuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementos para poder trabajar con ellos se emplean la notación llamada comprensión.

Operaciones Con Conjuntos

Unión

La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A U B y es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se denota por:

A U B = {x/x Î A ó x Î B}

Ejemplo: Sean los conjuntos A= {1, 3, 5, 7, 9} y B={ 10, 11, 12 }

A U B = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12}

Intersección

Sean A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9} y B= {2, 4, 8, 12}

Los elementos comunes a los dos conjuntos son:{2, 4, 8}. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A Ω B, algebraicamente se escribe así:

A Ω B= {x/x î A y x Î B}

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q= {a, n, p, y, q, s, r, o, b, k} y P= {l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q Ω P= {a, b, o, r, s, y}

Conjunto Vacio

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo que denotamos por el símbolo ø

Por ejemplo:

Sean A= {2, 4, 6} y B= {1, 3, 5, 7} encontrar A Ω B.

A Ω B= { }

El resultado de A Ω B = { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como:

A Ω B = ø

Complemento

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensión como:

A'= {x Є U/x y x € A}

Ejemplo:

Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

A= {1, 3, 5, 7, 9} donde A Ì U

El complemento de A estará dado por:

A'= {2, 4, 6, 8}

Diferencia

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por comprensión como:

A - B={ x/x Є A ; X € B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A que no estén en B. Si la operación fuera B - Al resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

Diagrama de Venn

Los diagramas de Venn que de deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para encontrar relaciones entre conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas.

La manera de representar el conjunto Universal es un rectángulo, ó bien la hoja de papel con que se trabaje.

Un ejemplo de la representación del conjunto universal se muestra como